Question

12．比较下列各组数的大小．
（1）2${\;}^{\frac{3}{2}}$，5${\;}^{\frac{3}{2}}$，（$\frac{1}{2}$）³；
（2）（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$，（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{3}}$，（$\frac{3}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的图象和性质，可得5${\;}^{\frac{3}{2}}$＞2${\;}^{\frac{3}{2}}$＞${1}^{\frac{3}{2}}$=1，根据指数函数的图象和性质，可判断${（\frac{1}{2}）}^{3}$＜${（\frac{1}{2}）}^{0}$=1，进而得到答案．
（2）根据指数函数的图象和性质，可判断（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$＞（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＞${（\frac{3}{4}）}^{0}$=1，（$\frac{3}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$＜（$\frac{3}{2}$）⁰=1，进而得到答案．

解答 解：（1）∵y=${x}^{\frac{3}{2}}$在（0，+∞）上为增函数，故5${\;}^{\frac{3}{2}}$＞2${\;}^{\frac{3}{2}}$＞${1}^{\frac{3}{2}}$=1，
∵y=$（\frac{1}{2}）^{x}$为减函数，故${（\frac{1}{2}）}^{3}$＜${（\frac{1}{2}）}^{0}$=1，
故5${\;}^{\frac{3}{2}}$＞2${\;}^{\frac{3}{2}}$＞${（\frac{1}{2}）}^{3}$；
（2）∵y=${（\frac{3}{4}）}^{x}$为减函数，故（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$＞（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＞${（\frac{3}{4}）}^{0}$=1，
∵y=${（\frac{3}{2}）}^{x}$为增函数，故（$\frac{3}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$＜（$\frac{3}{2}$）⁰=1，
故（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$＞（$\frac{3}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＞（$\frac{3}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$．

点评 本题考查的知识点是数的大小比较，熟练掌握相应指数函数和幂函数的单调情是解答的关键．