已知等差数列{an}为递增数列,前n项和为Sn,n∈N*,且S3=a5,a1与S5的等比中项为5.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)数列{bn}满足bn=pn-an,且{bn}的前n项和为Tn,n∈N*,若对任意n∈N*都有Tn≤T6,求实数p的取值范围.
分析:(I)由S
3=a
5,a
1与S
5的等比中项为5,利用等差数列的通项公式及前n项和的公式表示出关于a
1和d的两个关系式,联立即可求出a
1和d的值,根据等差数列{a
n}为递增数列判断出满足题意的一对值,然后根据a
1和d的值写出数列的通项公式即可;
(II)把a
n的通项公式代入到b
n=pn-a
n中得到b
n也是一个等差数列,根据等差数列的前n项和的公式表示出T
n,由T
n≤T
6,n=6时最大,得到T
n是一个开口向下的抛物线,所以二次项系数
小于0,且5.5≤-
≤6.5,求出不等式的解集即可得到p的取值范围.
解答:解:(I)由题意
可得
,即a
12=1
∴
或
∵{a
n}为递增的等差数列,
∴d>0,∴
,
∴a
n=2n-1(n∈N
*)
(II)b
n=pn-2n+1=(p-2)n+1=p-1+(p-2)(n-1),
所以b
n是首项为p-1,公差为p-2的等差数列,
T
n=n(p-1)+
(p-2)=
n
2+
n,
由T
n≤T
6,n=6时最大,知T
n开口向下,
∴p<2且
5.5≤≤6.5∴
≤p≤ 点评:此题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式,灵活利用二次函数的图象与性质解决实际问题,是一道中档题.