Question

在△ABC中，已知角A，B所对的边分别为a，b，且a=25，b=39，cosA=

12

13

．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求cos(2B-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在三角形ABC中，A∈（0，π），根据同角三角函数基本关系求出sinA，然后利用正弦定理求出sinB即可；
（Ⅱ）因为cosA小于0得到A为钝角，B为锐角，根据同角三角函数的基本关系求出cosB，然后利用两角差的余弦函数公式化简cos（2B-

π

4

）再利用特殊角的三角函数值求出即可．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，sinA=

1-cos2A

=

1-(- 12 13 )2

=

5

13

（3分）
由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

．所以sinB=

b

a

sinA=

39

25

×

5

13

=

3

5

（7分）

（Ⅱ）因为cosA＞0，所以角A为锐角，从而角B为锐角或钝角，
于是cosB=

1-sin2B

=

4

5

或-

4

5

（9分）
所以cos2B=2cos2B-1=

7

25

，sin2B=2sinBcosB=

24

25

或-

24

25

（11分）
∴cos（2B-

π

4

）=

2

2

（cos2B+sin2B）=

16 2

25

或-

17 2

25

（14分）

点评：考查学生会利用正弦定理化简求值，灵活运用同角三角函数基本关系的能力，以及会利用两角和与差的余弦函数化简求值．