Question

16．在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1°变化到5°，反应结果如下表所示（x代表温度，y代表结果）：

x	1	2	3	4	5
y	3	5	7	10	11

（1）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10°时反应结果为多少？

Answer 1

分析 （1）由题意，计算样本数据的平均值，求出对应回归直线方程的系数即可；
（2）根据回归直线方程中$\stackrel{∧}{b}$＞0，判断是正相关，利用回归方程计算x=10时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由题意：n=5，
计算$\overline x=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{{x_i}=3}$，
$\overline y=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{{y_i}=7.2}$，
又$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$-5${\overline{x}}^{2}$=55-5×9=10，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline{xy}=129-5×3×7.2=21}$；
∴$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{21}{10}=2.1$，
$\widehata=\overline y-b\overline x=7.2-2.1×3=0.9$，
即所求的回归方程为$\widehaty=2.1x+0.9$；
（2）由于变量y的值随温度x的值增加而增加（$\stackrel{∧}{b}$=2.1＞0），
∴x与y之间是正相关关系；
当x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=2.1×10+0.9=21.9，
即预测当温度达到10°时反应结果为21.9．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．