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已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),f(-2010)-f(2009)的值为
-1
-1
分析:由偶函数的性质及函数的周期性将f(-2010)-f(2009)的值用x∈[0,2)时上的函数值表示出来,代入解析式求出值
解答:解:对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x)
∴f(x+4)=f(x)
∵函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数
∴f(-x)=f(x)
∴f(-2010)-f(2009)=f(2010)-f(2009)
=f(2)-f(1)=-f(0)-f(1)=-1
故答案为:-1
点评:本题考查函数的周期性与函数偶函数的性质,解题的关键是根据函数的这两个性质灵活转化,将要求函数值用已知解析式的区间上的函数值表示出来,这是函数周期性运用的一种主要类型,题后应总结其规律.
练习册系列答案
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(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并用单调性定义证明你的结论;
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