Question

2．已知函数f（x）=x²+2bx+c为偶函数，关于x的方程f（x）=a（x+1）²的解构成集合{l}．
（1）求a、b、c的值．
（2）若x∈[-2，2]，求证：$\sqrt{f（x）}≤\frac{\sqrt{5}-1}{2}|x|+1$；
（3）设g（x）=$\sqrt{f（x）}+\sqrt{f（2-x）}$，若存在实数x₁，x₂∈[0，2]使得|g（x₁）-g（x₂）|≥m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=f（x）得x²-2bx+c=x²+2bx+c，解得b=0，又f（x）=a（x+1）²只有一个根1，即（a-1）x²+2ax+a-c=0只有一个根1，利用判别式即可求出a，c；
（2）根据偶函数性质将所证问题等价转化为$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，构造函数h（x）=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1）²-（x²+1），利用二次函数性质得出（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1）²≥（x²+1）＞0，开方即可得证；
（3）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得|g（x₁）-g（x₂）|≥m，等价于|g（x₁）-g（x₂）|_max≥m，由（2）和题目条件可得$\sqrt{f（x）}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1），又由（2）得$\sqrt{f（x）}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1，从而可得2$\sqrt{2}$≤g（x）≤1+$\sqrt{5}$，因此|g（x₁）-g（x₂）|_max═$\sqrt{5}$+1-2$\sqrt{2}$，所以可求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+2bx+c为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即x²-2bx+c=x²+2bx+c，解得b=0；
又f（x）=a（x+1）²只有一个根1，
即x²+c=a（x+1）²只有一个根1，
即（a-1）x²+2ax+a-c=0只有一个根1，又a≠1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-4（a-1）（c-1）=0}\\{（a-1）+2a+a-c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=0，c=1；
当a=1时方程（a-1）x²+2ax+a-c=0只有一个根1，
可得a=1，b=0，c=3．
综上可得，a=$\frac{1}{2}$，b=0，c=1或a=1，b=0，c=3．
（2）证明：∵f（x）为偶函数，∴$\sqrt{f（x）}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|x|+1
对任意的x∈[-2，2]恒成立等价于$\sqrt{f（x）}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$|x|+1对任意的x∈[0，2]恒成立，
即$\sqrt{f（x）}$≤$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，
即$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，
令h（x）=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1）²-（x²+1）=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（-x²+2x），
由二次函数性质易知，
在[0，2]上，h（x）≥h（0）=h（2）=0，
∴（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1）²≥（x²+1）＞0，
∴即$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，
从而问题得证；
（3）由题意可知，|g（x₁）-g（x₂）|_max≥m，
∵f（x）=x²+1≥$\frac{1}{2}$（x+1）²，
∴$\sqrt{f（x）}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1），
又由（2）得$\sqrt{f（x）}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x+1）≤g（x）≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+1+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（2-x）+1
即2$\sqrt{2}$≤g（x）≤1+$\sqrt{5}$，
∴|g（x₁）-g（x₂）|_max=$\sqrt{5}$+1-2$\sqrt{2}$，
即m≤$\sqrt{5}$+1-2$\sqrt{2}$，
∴实数m的取值范围是（-∞，$\sqrt{5}$+1-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的应用，数学的转化思想方法，属于难题．