【题目】已知函数,其中
.
(1)若函数在
处取得极值,求实数
的值;
(2)在(1)的结论下,若关于的不等式
,当
时恒成立,求
的值;
(3)令,若关于
的方程
在
内至少有两个解,求出实数
的取值范围。
【答案】(1) ;(2)
;(3) 实数
的范围是
.
【解析】分析:(1)根据求得
;(2)由题意结合分离参数可得
对
恒成立,构造函数
,
,利用导数可得
,故得
,又
,所以得到
.
(3)由题意,令
,构造函数
,则由题意得可得方程
在区间
上只少有两个解.然后分类讨论可得实数
的范围是
.
详解:(1)∵,
∴,
又函数在
处取得极值,
∴,解得
.
经验证知满足条件,
∴.
(2)当时,
,
∴.
由题意得对
恒成立,
∴对
恒成立.
令,
,
则,
∴在
上单调递增,
∴,
∴,
又,
∴.
(3)由题意得,
令,设
则方程在区间
上只少有两个解,
又,
∴方程在区间
上有解,
由于,
①当时,
,函数
在
上是增函数,且
,
∴方程在区间上无解;
②当时,
,同①可得方程无解;
③当时,函数
在
上递增,在
上递减,且
,
要使方程在区间
上有解,则
,即
,
∴;
④当时,函数
在
上递增,在
上递减,且
,
此时方程在
内必有解;
⑤当时,函数
在
上递增,在
上递减,且
,
∴方程在区间
内无解.
综上可得实数的范围是
.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个实数,b是从区间[0,2]上任取的一个实数,求上述方程有实根的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线,双曲线
的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若
,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是 ( )
A. 32 B. 4 C. 8 D. 16
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【题目】设、
分别是椭圆
的左、右焦点.若
是该椭圆上的一个动点,
的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
(
与
不重合),则直线
与
轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数)。在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
。
(1)写出曲线,
的普通方程;
(2)过曲线的左焦点且倾斜角为
的直线
交曲线
于
两点,求
。
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【题目】已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲乙两人均在丙领导人的同侧,则不同的排法共有( )
A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 600种
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,且直线
经过曲线
的左焦点
.
(1)求的值及直线
的普通方程;
(2)设曲线的内接矩形的周长为
,求
的最大值.
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