Question

设函数f（x）=

1

2

-

1

2

sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）设函数g（x）对任意x∈R，有g(x+

π

2

)=g(x)，且当x∈[0，

π

2

]时，g(x)=

1

2

-f(x)，求函数g（x）在[-π，0]上的解析式．
（3）在（2）的条件下，若对任意的x1∈[

π

6

，任意的x2∈[-

π

3

，都有f（x₁）＞g（x₂）+m，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦函数的最小正周期以及函数的对称中心直接求解函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）通过g(x+

π

2

)=g(x)，得到函数的周期，利用函数解析式的求法求解当x∈[0，

π

2

]时，g(x)=

1

2

-f(x)，函数g（x）在[-π，0]上的解析式．
（3）对任意的x1∈[

π

6

，任意的x2∈[-

π

3

，都有f（x₁）＞g（x₂）+m，转化为f（x）_min＞[g（x）+m]_max，求出两个函数的最值，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
令2x=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

，k∈Z
所以对称中心为（

kπ

2

，

1

2

）k∈Z．；
（2）函数g（x）对任意x∈R，有g(x+

π

2

)=g(x)，
∴函数g（x）的周期为：

π

2

，
当x∈[0，

π

2

]时，g(x)=

1

2

-f(x)=

1

2

sin2x，
当x∈[-π，-

π

2

]时，x+π∈[0，

π

2

]，g（x+π）=g（x），
∴函数g（x）=

1

2

sin(2x+2π)=

1

2

sin2x
当x∈[-

π

2

，0]时，x+

π

2

∈[0，

π

2

]，g(x+

π

2

)=g(x)
∴函数g（x）=

1

2

sin(2x+π)=-

1

2

sin2x．
∴函数g（x）在[-π，0]上的解析式为：g(x)=

1 2 sin2x，x∈[-π，- π 2 ] - 1 2 sin2x，x∈[- π 2 ，0]

．
（3）对任意的x1∈[

π

6

，任意的x2∈[-

π

3

，
都有f（x₁）＞g（x₂）+m，
就是f（x）_min＞[g（x）+m]_max，
对任意的x1∈[

π

6

，函数f（x）=

1

2

-

1

2

sin2x的最小值为：

1

2

-

1

2

×sin

π

2

=0．
x2∈[-

π

3

，g（x）+m=-

1

2

sin2x+m的最大值为：1+m，
∴0＞1+m．∴m＜-1．
m的取值范围：（-∞，-1）．

点评：本题考查三角函数的最值的应用，正弦函数的对称性与周期性，考查函数的解析式的求法，基本知识的综合应用．