Question

【题目】已知函数，.

（1）恒成立的实数的最大值；

（2）设，，且满足，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）化为分段函数，根据函数单调性即可求出函数的最小值，即可求出的值，

（2）由m＞0，n＞0，且，即：，化简≥2|m+2n|，由2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（）4即可证得.

（1）已知函数，.由题意得，恒成立，

即h（x）==2|x﹣1|﹣|x+1|＝，

显然，h（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴h（x）min＝h（1）＝﹣2，∴t﹣2，即最大值=-2.

（2）由于m＞0，n＞0，且，即：，

=+=2（|m+1|+|2n﹣1|）≥2|m+2n|，

∴2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（），

当且仅当，即当n＝，m＝时取“＝”，

故