Question

【题目】已知是抛物线上任意一点，，且点为线段的中点．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若为点关于原点的对称点，过的直线交曲线于、 两点，直线交直线于点，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）设，，根据中点坐标公式可得，代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）设，设，，将直线与曲线联立可得；由抛物线定义可知，若要证得只需证明垂直准线，即轴；由直线的方程可求得，可将点横坐标化简为，从而证得轴，则可得结论.

（Ⅰ）设，

为中点

为曲线上任意一点 ，代入得：

点的轨迹的方程为：

（Ⅱ）依题意得，直线的斜率存在，其方程可设为：

设，

联立得：，则

直线的方程为，是直线与直线的交点

根据抛物线的定义等于点到准线的距离

在准线上 要证明，只需证明垂直准线

即证轴

的横坐标：

轴成立 成立