Question

已知A、B、C、D是球面上四点，若AB=AC=，BD=DC=CB=2，二面角A-BC-D的平面角等于150°，则该球的表面积为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   7π
4. D.
   9π

Answer 1

B
分析：由题设知四面体ABCD中，AB=AC=，BD=DC=CB=2，设等边△BDC的外接圆的圆心为E，BC中点为H，球心为O，设球半径为r，则由题设条件能够推导出，且，由此解得y=1，从而求出r，由此能够求出球的表面积．
解答：解：由题设知四面体ABCD中，AB=AC=，BD=DC=CB=2，
如图，设等边△BDC的外接圆的圆心为E，BC中点为H，球心为O，设球半径为r，
则Rt△OEB中，∠OEB=90°，
∵BD=DC=CB=2，AB=AC=，
∴∠AHE是二面角A-BC-D的平面角，故∠AHE=150°，
DE===，HE=，
∴，…①
作AI⊥DH，交DH延长线与I，则AH=1，HE=，OA=r，∠AHT=180°-∠AHE=30°，
∴AI=，IE=IH+HE=，
∴，…②
由①②得，解得y=1，
∴r==，
∴球的表面积S=4π=．
故选B．
点评：本题考查球的表面积的求法，具体涉及到锥锥的结构特征、二面角的平面角、余弦定理、三角形性质、球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地化空间几何问题为平面几何问题．