Question

【题目】如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道，记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n层的第m个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题．

（1）求P（2，1），P（3，2）及P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）
（2）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ= ，试求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是 ，小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m），可得

P（2，1）= ，P（3，2）= = ，P（4，2）= =

猜想P（n，m）= ；

（2）解：ξ的可能取值为3，2，1，

P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）= ，

P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）= = ，

P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=

分布列为：

ξ	3	2	1
P

Eξ=3× +2× +1× = ．

【解析】（1）根据小弹子以相同的概率落入每个通道，在每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式得到结果，推出具有一般性的结论．（2）根据题意知变量ξ的可能取值是3，2，1，结合变量对应的事件和前一问做出的概率公式，写出变量对应的概率和分布列，求出期望值．
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．