Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△SAD是正三角形，P，Q分别是棱SC，AB的中点，且平面SAD⊥平面ABCD．
（1）求证：PQ∥平面SAD；
（2）求证：SQ⊥AC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取SD中点F，连结AF，PF．

∵P，F分别是棱SC，SD的中点，∴FP∥CD，且 ，

∵在正方形ABCD中，Q是AB的中点，

∴AQ∥CD，且 ，即FP∥AQ且FP=AQ，

∴AQPF为平行四边形，则PQ∥AF，

∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ∥平面SAD

（2）证明：连结BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

取AD中点E，连SE，EQ，

∵Q为AB中点，∴EQ∥BD，∴AC⊥EQ．

∵SA=SD，∴SE⊥AD，

∵平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，∴SE⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD，∴AC⊥SE，

∵SE∩EQ=E，SE，EQ平面SEQ，∴AC⊥平面SEQ，

∵SQ平面SEQ，∴SQ⊥AC

【解析】（1）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．（2）连结BD，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．证明EQ⊥AC，然后证明AC⊥平面SEQ，即可证明结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行)的相关知识才是答题的关键．