Question

10．如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，$∠ABC=\frac{π}{3}$，PA=AB=4，AC交BD于O，点N是PC的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面ANC与平面ANB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）只需证明BD⊥AC，BD⊥PA，即可得到BD⊥平面PAC．
（2）以O为坐标原点，OC，OB，ON所在直线分别为x，y，z轴，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．

解答 解：（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
而PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（2）以O为坐标原点，OC，OB，ON所在直线分别为x，y，z轴，方向如图所示，

根据条件有点$N（0，0，2），A（-2，0，0），B（0，2\sqrt{3}，0）$，
由（1）可知OB⊥平面ANC，所以可取$\overrightarrow{OB}$为平面ANC的法向量$\overrightarrow{n_1}$，$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{OB}=（0，2\sqrt{3}，0）$，
现设平面BAN的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\-\sqrt{3}y+z=0\end{array}\right.$，
令z=1，
则$\overrightarrow{n_2}=（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$，
设平面ANC与平面ANB所成的锐二面角大小为θ，则$cosθ=|\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}|=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了空间线面垂直，即向量法求解二面角，属于中档题．