Question

13．在△ABC中，已知cosC=$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}$sinA=3cosB，则tanB的值等于$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由cosC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，由A+B+C=π，可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，又sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB．即可得出tanB．

解答 解：∵cosC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，
又sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB．
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，
∴解得：tanB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．