Question

已知函数，n∈N^*．
（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）是否存在等差数列{a_n}，使得对一切n∈N^*都成立？并说明理由．

Answer 1

解：（1）=x^n-1（x-1）ⁿ，f'（x）=（n-1）x^n-2（x-1）ⁿ+x^n-1•n（x-1）^n-1=x^n-2（x-1）^n-1[（n-1）（x-1）+nx]，
令f'（x）=0得，
因为n≥2，所以x₁＜x₂＜x₃．…（2分）
当n为偶数时f（x）的增减性如下表：

x	（-∞，0）	0				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	+	0	-	0	+
f（x）	↗	无极值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以当时，；当x=1时，y_极小=0．…（4分）
当n为奇数时f（x）的增减性如下表：

x	（-∞，0）	0				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗	无极值	↗

所以x=0时，y_极大=0；当时，．…（6分）
（2）假设存在等差数列{a_n}使成立，
由组合数的性质，
把等式变为，
两式相加，因为{a_n}是等差数列，所以a₁+a_n+1=a₂+a_n=a₃+a_n-1=…=a_n+1+a₁，
故，
所以a₁+a_n+1=n． …（8分）
再分别令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，
进一步可得满足题设的等差数列{a_n}的通项公式为．…（10分）
分析：（1）先利用二项式定理化简f（x），再求出其导函数f'（x），利用导函数值的正负求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值和极小值；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在等差数列{a_n}，结合组合数和性质得到a₁+a_n+1=n，再分别令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，进一步可得满足题设的等差数列{a_n}的通项公式，故存在等差数列{b_n}，满足条件．
点评：本题主要考查二项式定理，等差数列的通项公式，考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性与导数的关系．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，学生应熟练掌握．