Question

【题目】已知函数f（x）＝alnx﹣3x在x处取得极值．

（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围；

（2）讨论函数F（x）＝f（x）+x2+k（k∈R）的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）[﹣ln3﹣1，+∞）；（2）答案不唯一，见解析

【解析】

（1）求导后，根据已知条件可得的值，进而判断函数的单调性，由此求出函数在定义域上的最大值，进而求得实数的取值范围；

（2）利用导数求出当变化时，，的变化情况，进而讨论得出结论．

（1）∵，

由题意，，

∴a＝1，

∴，

当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）在上为增函数，在上为减函数，，

∴m≥﹣ln3﹣1，

即实数m的取值范围为[﹣ln3﹣1，+∞）；

（2）F（x）＝f（x）+x2+k＝lnx﹣3x+x2+k，x∈（0，+∞），∴，

令F′（x）＝0，解得，当x变化时，F（x），F′（x）的变化情况如下表，

x				1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	﹣	0	+
F（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

而，

∴当且﹣2+k＜0，即时，函数F（x）有3个零点；

当或﹣2+k＝0，即或k＝2时，函数F（x）有2个零点；

当或﹣2+k＞0，即或k＞2时，函数F（x）有1个零点．