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函数的定义域为{x|x≠1},图象过原点,且
(1)试求函数f(x)的单调减区间;
(2)已知各项均为负数的数列{an}前n项和为Sn,满足,求证:
(3)设,是否存在m1,,n1,m2,n2∈N*,使得ln2011∈(g(m1,n1),g(m2,n2))?若存在,求出m1,,n1,m2,n2,证明结论;若不存在,说明理由.
【答案】分析:(1)先由己知得出a=0,b=c求得f(x)的解析式,再利用导数工具即可求出函数f(x)的单调减区间;
(2)由已知可得2Sn=an-an2,利用数列的通项与前n项和的关系式求得当数列的通项公式:an=-n,于是,待证不等式即为.为此,我们考虑证明不等式,下面利用导数研究函数,的单调性,即可证明得到,即
(3)对于存在性问题,可先假设存在,只须在中令n=1,2,3,…,20072010,并将各式相加即可得到证明.
解答:解:(1)由己知a=0,b=c.∵且b=2n,n∈N*∴b=2

于是
由f'(x)<0得0<x<1或1<x<2
故函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1,2)
(2)由已知可得2Sn=an-an2
当n≥2时,2Sn-1=an-1-an-12
两式相减得(an+an-1)(an-an-1+1)=0
∴an-an-1=-1(各项均为负数)
当n=1时,2a1=a1-a12⇒a1=-1,∴an=-n
于是,待证不等式即为
为此,我们考虑证明不等式
,则t>1,
再令g(t)=t-1-lnt,由t∈(1,+∞)知g'(t)>0
∴当t∈(1,+∞)时,g(t)单调递增∴g(t)>g(1)=0于是t-1>lnt

由t∈(1,+∞)知h'(t)>0
∴当t∈(1,+∞)时,h(t)单调递增∴h(t)>h(1)=0于是

由①、②可知
所以,,即
(3)m1=2,n1=2011,m2=1,n2=2010.
中令n=1,2,3,…,20072010,并将各式相加得
即ln2011∈(g(2,2011),g(1,2010)).
点评:本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和数列前n项和的证明,解题时要熟练掌握数列的性质和应用,注意累加法的灵活运用.
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{x|kπ+
π
4
<x<kπ+
π
2
,k∈Z}
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<x<kπ+
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,k∈Z}

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(本小题16分)函数的定义域为{x| x ≠1},图象过原点,且

(1)试求函数的单调减区间;

(2)已知各项均为负数的数列前n项和为,满足

求证:

 

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