Question

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（

2

cosB，

2

sinB），向量

n

=（cosc，-sinc），若|

m

-

n

|=

5

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4

2

，且△ABC的面积为16，求b，c．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由向量的模长可得cos（B+C）=-

2

2

，由诱导公式可得cosA=

2

2

，由A的范围可得；
（2）由余弦定理可得（4

2

）²=b²+c²-2bccos

π

4

，由面积公式可得S=

1

2

bcsin

π

4

=16，化简联立方程组解之可得答案．

解答： 解：（1）∵

m

=（

2

cosB，

2

sinB），

n

=（cosc，-sinc），
∴|

m

-

n

|=（

2

cosB-cosC，

2

sinB+sinc），
又∵|

m

-

n

|=

5

，∴（

2

cosB-cosC）²+（

2

sinB+sinc）²=5，
展开化简可得-

2

（cosBcosC-sinBsinC）=1，
∴cos（B+C）=-

2

2

，∴cosA=-cos（B+C）=

2

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

4

（2）由余弦定理可得（4

2

）²=b²+c²-2bccos

π

4

，
化简可得32=b²+c²-

2

bc，①
又△ABC的面积为S=

1

2

bcsin

π

4

=16，即

2

bc=64，②
把②①代入①可得b²+c²=96，③
联立①③可解得b=8，c=4

2

，或b=4

2

，c=8

点评：本题考查正余弦定理的应用，涉及向量的模长公式，属中档题．