Question

已知函数f（x）=x-ln（x+m）
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）当m为何值时，不等式f（x）≥0恒成立？
（3）证明：当m∈N且m＞1时，方程f（x）=0在[1-m，e^m-m]内有唯一实根．（e为自然对数的底数；参考公式：2m=C

0 m

+C

1 m

+C

2 m

+…+C

m m

）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，解不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，
（2）由（1）得：f（x）在定义域（-m，+∞）内只有一个极值点，从而f（x）的最小值是1-m，从而1-m≥0时，不等式f（x）≥0恒成立，故求出实数m的范围；
（3）由f（1-m）=1-m＜0，得f（e^m-m）＞0，由（1）得，f（x）在[1-m，e^m-m]上递增，故方程f（x）=0在区间[1-m，e^m-m]内有唯一的实根．

解答： 解：（1）f′（x）=

x+m-1

x+m

，（x＞-m），
令f′（x）=0，解得：x=1-m，
∵-m＜x＜1-m时，f′（x）＜0，
x＞1-m时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-m，1-m）递减，在（1-m，+∞）递增，
∴x=1-m时，函数f（x）有极小值1-m；
（2）由（1）得：f（x）在定义域（-m，+∞）内只有一个极值点，
∴f（x）的最小值是1-m，从而1-m≥0时，不等式f（x）≥0恒成立，
故所求的实数m的范围是（-∞，1]；
（3）∵m＞1，∴f（1-m）=1-m＜0，
又f（e^m-m）=e^m-m-ln（e^m-m+m）=e^m-2m，
∵e＞2，∴e^m-2m＞2^m-2m≥

c

0 m

+

c

1 m

+

c

2 m

-2m=

1

2

（m-1）（m-2）≥0，
∴f（e^m-m）＞0，
由（1）得，f（x）在[1-m，e^m-m]上递增，
故方程f（x）=0在区间[1-m，e^m-m]内有唯一的实根．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．