Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n（S_n-

1

2

）．
（1）证明：{

1

Sn

}为等差数列，并求a_n；
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立？若存在求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）将a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展开变形、化简可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，证出数列{

1

Sn

}为等差数列，从而，得出S_n的表达式，进而可以求出a_n；
（2）将（1）中的S_n的表达式代入到b_n当中，用裂项相消法可以求出T_n表达式；
（3）用T_n的表达式得出其单调性，将不等式T_n＞

1

4

（m-8）转化为T₁＞

1

4

（m-8），最后可以求出符合题m的最大值．

解答： （1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)=Sn2-

1

2

Sn-SnSn-1+

1

2

Sn-1，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，即数列{

1

Sn

}为等差数列，S₁=a₁=1，
∴

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)×2=2n-1，∴Sn=

1

2n-1

，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)•(2n-3)

，
∴an=

1，n=1 - 2 (2n-1)•(2n-3) ，n≥2

．
（2）解：bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；

（3）解：Tn＞

1

4

(m-8)⇒

n

2n+1

＞

1

4

(m-8)⇒m＜8+

4n

2n+1

⇒m＜8+

4

2+ 1 n

而8+

4

2+ 1 n

是单增数列，其最小值为8+

4

2+ 1 1

=

28

3

．因此m＜

28

3

，即存在自然数m，
使得对任意n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立，且m的最大值为9．

点评：本题考查了数列求和的方法和等差数列的相关知识，属于中档题．采用裂项相消法、利用数列的单调性和不等式恒成立的处理，是解决问题的关键．