Question

已知函数f（x）=（x-1）²，其图象在点（0，1）处的切线为l．
（1）求y=f（x）、直线l及x=3轴围成图形的面积；
（2）求y=f（x）、直线x=2及两坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程,用定积分求简单几何体的体积

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求导函数，求出切线的斜率，利用点斜式，可得切线l的方程，求出直线与l与f′（x）的交点的横坐标，可得积分的上、下限，利用定积分，可求直线l与f′（x）图象围成的图形的面积；
（2）本题要求的是一个旋转体的体积，看清组成图形的最主要的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果．

解答： 解：（1）∵f′（x）=2x-2，∴k=f′（0）=2×0-2=-2，∴l：y-1=-2（x-0），即：y=1-2x，
∴y=f（x）、直线l及x=3轴围成图形的面积S=

∫

3 0

[（x-1）²-（1-2x）]dx═

∫

3 0

x²dx=

1

3

x3

|

3 0

=9．
（2）f（x）=（x-1）²、直线x=2及两坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积是V=

∫

2 0

π(x-1)4dx=π

1

5

(x-1)5

|

2 0

=

2

5

π

点评：本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，求几何体的面积和体积，考查学生的计算能力，属于中档题．