Question

设函数f（x）=lnx+

a

2

x²-（a+1）x（a为常数）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＜

a

2

x²-x-a，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，由f′（x）的正负性，求出函数的单调区间；
（2）由f（x）＜

a

2

x²-x-a，转化为lnx-ax+a＜0，构造新的函数g（x）=lnx-ax+a，求g（x）＜0恒成立时a的取值范围，利用导数讨论g（x）的单调性，
求出g（x）的最大值，只需最大值小于0即可．

解答： 解：定义域为：（0，+∞），
（1）当a=2时，f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
当f′（x）＞0时，0＜x＜

1

2

或x＞1，当f′（x）＜0时，x＜0或

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的单调增区间为：（0，

1

2

）和（1，+∞），单调减区间为：（

1

2

，1）；
（2）f（x）＜

a

2

x²-x-a即lnx+

a

2

x²-（a+1）x＜

a

2

x²-x-a，∴lnx-ax+a＜0，
令g（x）=lnx-ax+a，x∈（1，+∞），g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，又g（e）=1-ae+a=1+a（1-e）＞0，∴g（x）＜0不恒成立；
②当a≥1时，g′（x）=

1

x

-a＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）=-a+a=0，满足题意；
③当0＜a＜1时，由g′（x）=

1

x

-a＞0得，x＜

1

a

，∴g（x）在（1，

1

a

）上单调递增，
由g′（x）=

1

x

-a＜0得，x＞

1

a

，∴g（x）在（

1

a

，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（

1

a

）=ln

1

a

-1+a=a-lna-1，令h（a）=a-lna-1，a∈（0，1），
h′（a）=1-

1

a

＞0，∴h（a）单调递增，∴h（a）＜h（1）=0，
∴g（x）≤h（a）＜0，此时满足题意；
综上得，a的取值范围为（0，+∞）．

点评：本题是一道导数的合题，考查了利用导数求函数的单调区间，利用最值求函数中参数值．属于中当题．