Question

已知P为椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，求证：过点P的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出切线PT的方程，求出点F₁，F₂到PT的距离，判断△PMF₁∽△PNF₂，即可得到结论．

解答： 证明：设F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x₀，y₀），
如图过F₁，F₂作切线PT的垂线，垂足分别为M，N，
∵切线PT的方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，
∴点F₁，F₂到PT的距离为|F₁M|=-

|- cx0 a2 -1|

x02 a4 + y02 b4

，|F₂N|=

| cx0 a2 -1|

x02 a4 + y02 b4

，
∴

|F1M|

|F2N|

=

|a+ex0|

|a-ex0|

=

|PF1|

|PF2|

，
∴△PMF₁∽△PNF₂，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠4，
∴∠2=∠4．
∴过点P的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角．

点评：本题主要考查综合考查圆锥的性质，考查点到直线的距离公式，综合性较强．