Question

已知函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上只有f（1）=f（3）=0．
（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2014，2014]上根的个数，并证明你的结论．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）判断函数在一个周期内的个数即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2+x），
∴当x=2时，f（0）=f（4）≠0，
∴函数f（x）不是奇函数．
∵f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），
∴f（-x）=f（4+x），f（-x）=f（14+x），
即f（4+x）=f（14+x），即f（x）=f（x+10），
即函数的周期是10，
∴f（-3）=f（-3+10）=f（7）≠0，
即f（-3）≠f（3），即函数f（x）不是偶函数．
即函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）∵在闭区间[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，
∴当7＜x≤10，方程f（x）=0无解，即在一个周期[0，10]，内方程的根只有1和3．
则在闭区间[-2010，2010]上含有402个周期，此时有2×402=804个根，
在区间（2010，2014]内，f（2011）=f（1）=0，f（2013）=f（3）=0，此时有2个根，
在区间[-2014，-2010）内，f（-2011）=f（9）≠0，f（-2012）=f（8）≠0，f（-2013）=f（7）≠0，f（-2014）=f（6）≠0，此时有0个根，
综上共有804+2=806个根．

点评：本题主要考查抽样函数的应用，考查函数奇偶性，周期性和对称性的应用，综合性较强，有一定的难度．