Question

已知方程ax²+4x+b=0（a＜0）的两实根为m，n，方程ax²+3x+b=0的两实根为p，q．
（1）若a，b均为负整数，且|p-q|=1，求a，b的值；
（2）若p＜1＜q＜2，m＜n，求证：-2＜m＜1＜n．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用判别式，确定ab的范围，利用韦达定理，结合|p-q|=1，求a，b的值；
（2）利用韦达定理证明（m-1）（n-1）＜0，（m+2）（n+2）＞0，即可得出结论．

解答： （1）解：ax²+4x+b=0有两个实数根，其判别式△=4²-4ab≥0 得ab≤4
ax²+3x+b=0 有两个实数根，其判别式△=3²-4ab≥0 得ab≤

9

4

∵p+q=-

3

a

，pq=

b

a

∴1=|p-q|²=（p+q）²-4pq=

9

a2

-

4b

a

，
∴a²+4ab=9 a（a+4b）=9
a，b均为负整数，则a+4b＜a＜0
a是9的约数，只可能a=-1，-3，-9，对应a+4b=-9，-3，-1
∴以只可能a=-1，a+4b=-9
a=-1，b=-2
（2）证明：p＜1＜q 有（p-1）（q-1）=pq-（p+q）+1=

b

a

+

3

a

+1＜0
∵a＜0，∴b+3+a＞0；
p＜1＜q＜2有 （p-2）（q-2）=pq-2（p+q）+4=

b

a

+

6

a

+4＞0
∵a＜0 所以b+6+4a＜0 有 4a+b+6＜0
（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=

a+b+3

a

+

1

a

＜0
∴有m＜1＜n
又（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=

b+4a+6

a

-

14

a

＞0
∴m，n同时小于-2，或同时大于-2
∵n＞1，∴只能m，n同时大于-2，
∴-2＜m＜1＜n．

点评：本题考查不等式的证明，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．