Question

已知f（x）=x+bx²+alnx，又y=f（x）的图象过P（1，1）点，且在P处切线的斜率为2．
（1）求a，b的值
（2）证明f（x）≤2x-1．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用y=f（x）的图象过P（1，1）点，且在P处切线的斜率为2，建立方程，即可求a，b的值
（2）设g（x）=f（x）-（2x-1）=lnx-x+1，确定g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0，即可证明结论．

解答： （1）解：因为f（x）=x+bx²+alnx，
所以f′（x）=1+2bx+

a

x

，
因为y=f（x）的图象过P（1，1）点，且在P处切线的斜率为2，
所以1+b=1，1+2b+a=2，
所以a=1，b=0；
（2）证明：设g（x）=f（x）-（2x-1）=lnx-x+1，
所以g′（x）=

1-x

x

，
所以g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0，
所以g（x）≤0，
所以f（x）≤2x-1．

点评：本题考查了导数的几何意义，在切点处的导数值是切线斜率，考查不等式的证明，构造函数是关键．