Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结BD和AC交于O，连结OF，证明OF∥BE，即可证明BE∥平面ACF；
（Ⅱ）证明EG⊥平面ABCD，即可求四棱锥E-ABCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）
∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，
∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（4分）
∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（5分）
（Ⅱ）解：作EG⊥AD于G，则
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，…（7分）
∴CD⊥EG，
∵AD∩CD=D，∴EG⊥平面ABCD…（8分）
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，
∵AE=DE=2，∴AD=2

2

，EG=

2

…（10分）
∴四棱锥E-ABCD的体积V=

1

3

×(2

2

)2×

2

=

8 2

3

…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查四棱锥E-ABCD的体积，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．