Question

已知x_i＞0（i=1，2，3，…，n），我们知道有（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4成立．
（Ⅰ）请证明（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

）≥9；
（Ⅱ）同理我们也可以证明出（x₁+x₂+x₃+x₄）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

）≥16
由上述几个不等式，请你猜测与x₁+x₂+…+x_n和

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

（n≥2，n∈N^*）有关的不等式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,基本不等式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用基本不等式，即可证明（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

）≥9；
（Ⅱ）猜测（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），再用数学归纳法证明．

解答： 证明：（Ⅰ）（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

）=3+（

x1

x2

+

x2

x1

）+（

x1

x3

+

x3

x1

）+（

x2

x3

+

x3

x2

）≥3+2+2+2=9，
∴（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

）≥9
（Ⅱ）猜测满足的不等式为（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），
证明如下：
（1）当n=1时，x₁•

1

x1

≥1，猜想成立；当n=2时，（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x₁+x₂+…+x_k）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）≥k²，
那么n=k+1时，（x₁+x₂+…+x_k+1）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

+

1

xk+1

）=（x₁+x₂+…+x_k）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）+x_k+1（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）+（x₁+x₂+…+x_k）

1

xk+1

+1≥k²+2k+1=（k+1）²
则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．

点评：本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．