Question

已知函数f（x）=x³+（a-1）x²+bx，f（x）在x=1处的切线斜率为-9，且f（x）的导函数f′（x）为偶函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ） 求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先利用导数求出在x=1处的导函数值，再利用f（x）的导函数f′（x）为偶函数，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）确定函数的单调性，即可求f（x）的极值．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得f′（x）=3x²+2（a-1）x+b，
∵函数f（x）=x³+（a-1）x²+bx，f（x）在x=1处的切线斜率为-9，且f（x）的导函数f′（x）为偶函数，
∴

3+2(a-1)+b=9 a=1

，
∴a=1，b=-12；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3x²-12=0，可得x=±2，
x∈（-∞，-2），函数单调递增，x∈（-2，2），函数单调递减，x∈（2，+∞），函数单调递增，
∴x=-2时，函数取得极大值16，x=2时，函数取得极小值-16．

点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、考查函数的极值等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．