Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G，H分别是CE和CF的中点．
（1）求证：AF∥平面BDGH：
（2）求V_E-BFH．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）设AC∩BD=O，连接OH，证明OH∥AF，即可证明AF∥平面BDGH；
（2）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直，可得H到平面BDEF的距离为CO的一半，再利用等体积转换，即可得出结论．

解答： （1）证明：设AC∩BD=O，连接OH，
在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，
所以OH∥AF，
又因为OH?平面BDGH，AF?平面BDGH，
所以OH∥平面BDGH．…（6分）
（2）解：因为四边形是正方形，
所以AC⊥BD．
又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF…（8分）
则H到平面BDEF的距离为CO的一半
又因为AO=

2

，三角形BEF的面积

1

2

×3×2

2

=3

2

，
所以V_E-BFH=V_H-BEF=

1

3

×3

2

×

2

2

=1…（12分）

点评：本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了求三棱锥的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．