Question

复数z=（3m-2）+（m-1）i，m∈R．
（1）m为何值时，z是纯虚数？
（2）若（

x

+

3

x

）^m（m∈N^*）的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数和之比为64，求n的值并指出此时复数z在复平面上对应的点位于第几象限．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,复数的基本概念

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用纯虚数的定义即可得出；
（2））(

x

+

3

x

)m（m∈N^*）的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4^m，又二项式系数和为2^m．利用各项系数的和与其各项二项式系数和之比为64，即可解得m，
再利用复数的几何意义即可得出．

解答： 解：（1）3m-2=0且m-1≠0时，即m=

2

3

，z是纯虚数．
（2）∵(

x

+

3

x

)m（m∈N^*）的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4^m，
又二项式系数和为2^m．各项系数的和与其各项二项式系数和之比为64，
∴

4m

2m

=64，解得m=6，
此时复数z=16+5i在复平面上对应的点（16，5）位于第一象限．

点评：本题考查了纯虚数的定义、复数的几何意义、二项式定理及其应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．