Question

已知函数g（x）=a^x，h（x）=x²-xlna-b（a＞0且a≠1，b∈R），设f（x）=g（x）+h（x）．
（Ⅰ）试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若函数y=g（x）-h（x）在x=0处的切线的倾斜角为锐角，且对函数f（x），?x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1成立，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=（a^x-1）lna+2x，分别讨论0＜a＜1时，a＞1时的情况，从而求出函数的单调性；
（Ⅱ）先求出f′（x）=（a^x-1）lna+2x，分别讨论0＜a＜1时，a＞1时的情况，从而求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=g（x）+h（x）=a^x+x²-xlna-b，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，
当0＜a＜1时，lna＜0，0＜a^x＜1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
即此时y=f（x）在（0，+∞）上的单调递增；
当a＞1时，lna＞0，a^x＞1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
即y=f（x）在（0，+∞）上的单调递增；
综上f（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）∵f′（x）=（a^x-1）lna+2x，
0＜a＜1时，lna＜0，0＜a^x＜1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
a＞1时，lna＞0，a^x＞1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f（x）_max=f（1），
∴f（1）-f（0）≥e-1，
∴a-lna≥e-lne，
令H（a）=a-lna（a＞1），
∴H（a）在（1，+∞）递增，
∴a≥e．

点评：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．