Question

已知椭圆的焦点F₁（0，-1）和F₂（0，1），离心率e=

1

2

（1）求椭圆的方程；
（2）设点P在椭圆上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得c=1，然后根据离心率e=

1

2

，求出a，b．求出椭圆方程即可；
（2）由P在椭圆上，可得|PF₁|+|PF₂|=4，与已知条件联立可求得是直|PF₁|与|PF₂|，据此能够推导出△PF₂F₁是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式求解即可．

解答： 解：（1）根据题意，可得c=1，
又e=

1

2

=

c

a

，则a=2c=2，b=2

3

，
所以椭圆的方程为：

y2

4

+

x2

3

=1；
（2）（2）∵点P在椭圆上，
∴

|PF2|-|PF1|=1 |PF2|+|PF1|=4

，
∴

|PF2|= 5 2 |FP1|= 3 2

；
∵2²+（

3

2

）²=(

5

2

)2，
∴△PF₂F₁是直角三角形，
∴△PF₁F₂的面积=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的性质，考查了余弦定理、直角三角形的判定、直角三角形的面积等知识的运用，属于中档题，解答此题的关键是求出|PF₁|与|PF₂|的值，推导出△PF₂F₁是直角三角形．