Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=

π

3

，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F分别在棱PC、PA上，CE=

1

3

CP，AF=

1

3

AP，G为PD中点，△PBD是边长为6的等边三角形．
（Ⅰ）求证：B、E、C、F四点共面；
（Ⅱ）求V_{四棱锥P-BECF}．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设PO，BG交点为H，证明H，F，E三点共线，FE∩BG=H，即可证明：B、E、C、F四点共面；
（Ⅱ）证明PD⊥平面BEGF，利用V_{四棱锥P-BECF}=

1

3

×S_BEGF×PG求体积．

解答： （Ⅰ）证明：设PO，BG交点为H，则
∵O，G分别为BD，PD中点，
∴H为△PBD的重心，
∴OH=

1

3

OP
∵CE=

1

3

CP，
∴HE∥OC，
同理HF∥OA，
∴H，F，E三点共线，FE∩BG=H，
∴B、E、C、F四点共面；
（Ⅱ）解：由题意，PO⊥AC，BD⊥AC，PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD，
∴AC⊥PD，
∴PD⊥EF，
∵PD⊥BG，
∴PD⊥平面BEGF，
由（Ⅰ）得EF=

2

3

AC，
∵AC=6

3

，
∴EF=4

3

，
∵BG=3

3

，EF⊥BG，
∴S_BEGF=

1

2

×3

3

×4

3

=18，
∴V_{四棱锥P-BECF}=

1

3

×S_BEGF×PG=

1

3

×3×18=18．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合，考查锥体体积的计算，正属于中档题．