Question

设数列{a_n}满足：a₁=0，且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1- an+1

n

，记S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得{

1

1-an

}是首项为1，公差为1的等差数列，则

1

1-an

=1+(n-1)×1=n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能证明S_n＜1．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵a₁=0，且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1（n∈N^*）．
∴{

1

1-an

}是首项为1，公差为1的等差数列，
则

1

1-an

=1+(n-1)×1=n，
∴1-an=

1

n

，∴a_n=

n-1

n

．…（5分）
（2）∵bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，…（7分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．
∴S_n＜1．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．