Question

已知抛物线y=-x2+ax+

1

2

与直线y=2x
（1）求证：抛物线与直线相交；
（2）求当抛物线的顶点在直线的下方时，a的取值范围；
（3）当a在（2）的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值．

Answer 1

分析：（1）把直线方程与抛物线方程联立，转化为关于X的方程，只要对应方程的判别式恒大于0即可说明结论；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，在根据抛物线的顶点在直线的下方得到关于a的不等式，解之即可求出a的取值范围；
（3）把直线方程与抛物线方程联立，转化为关于X的方程求出两根之和与两根之积，再结合弦长公式以及第二问中a的取值范围即可求出抛物线截直线所得弦长的最小值．

解答：解：（1）由

y=2x y=-x2+ax+ 1 2 ?2x2+(4-2a)x-1=0，△=(4-2a)2+8＞0，

∴直线与抛物线总相交．
（2）∵y=-x2+ax+

1

2

=-(x-

a

2

)2+

a2+2

4

，其顶点为(

a

2

，

a2+2

4

)，
且顶点在直线y=2x的下方，
∴

a2+2

4

＜2•

a

2

，
即a2-4a+2＜0?2-

2

＜a＜2+

2

．
（3）设直线与抛物线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x1+x2= 2a-4 2 =a-2 x1•x2=- 1 2

∴|AB|=

1+22

•

(a-2)2+2

=

5[(a-2)2+2]

．
∵2-

2

＜a＜2+

2

，
∴当a=2时，|AB|min=

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点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决第一问的关键在于把直线与抛物线相交问题转化为对应方程组有根的问题，再转化为对应方程有根的问题．