Question

18．已知定点M（-1，2），动点N在单位圆x²+y²=1上运动．以0M，0N为邻边作平行四边形OMPN，则点P到直线3x+4y+10=0距离的取值范围是[2，4]．

Answer 1

分析 由已知条件利用圆的参数方程得到N（cosθ，sinθ），P（cosθ-1，sinθ+2），由此利用点到直线的距离公式和三角函数知识能求出点P到直线3x+4y+10=0距离的取值范围．

解答 解：∵定点M（-1，2），动点N在单位圆x²+y²=1上运动，以0M，0N为邻边作平行四边形OMPN，
∴N（cosθ，sinθ），P（cosθ-1，sinθ+2），
∴点P到直线3x+4y+10=0距离：
d=$\frac{|3cosθ-3+4sinθ+8+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{|5sin（θ+α）+15|}{5}$，（tan$α=\frac{3}{4}$）
∴d_min=$\frac{|-5+15|}{5}$=2，d_max=$\frac{|5+15|}{5}$=4，
∴点P到直线3x+4y+10=0距离的取值范围是[2，4]．
故答案为：[2，4]．

点评 本题考查点到直线的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程和两点间距离公式的合理运用．