Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$（a＞0）是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）＜$\frac{17}{4}$；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤2^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），解方程可得a=1；
（2）不等式即为2^x+2^-x＜$\frac{17}{4}$，令t=2^x（t＞0），可化为二次不等式，解得t的范围，再由指数函数的单调性，可得x的范围；
（3）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤2^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得f（-x）=f（x），
即$\frac{1}{a•{2}^{x}}$+a•2^x=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$，
即（a-$\frac{1}{a}$）•2^x=（a-$\frac{1}{a}$）2^-x，
可得a²=1，即a=±1（-1舍去），
则a=1；
（2）不等式f（x）＜$\frac{17}{4}$，
即为2^x+2^-x＜$\frac{17}{4}$，令t=2^x（t＞0），
即有4t²-17t+4＜0，
解得$\frac{1}{4}$＜t＜4，即$\frac{1}{4}$＜2^x＜4，
可得-2＜x＜2，
则解集为（-2，2）；
（3）关于x的不等式mf（x）≤2^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即为m（2^x+2^-x-1）≤2^-x-1，
∵x＞0，∴2^x+2^-x-1＞0，
即m≤$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{x}+{2}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，
设t=2^x，（t＞1），则m≤$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$=-$\frac{t-1}{（t-1）^{2}+（t-1）+1}$=-$\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+1}$≥-$\frac{1}{3}$，
当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判定和运用，考查函数单调性的运用和函数恒成立问题的解法，属于中档题．