Question

在菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G．
（1）证明：直线BG∥平面FDE；
（2）判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）证明：设DE和CB的延长线交与点H，由菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，可得 BE∥CD，
且 BE=CD，故BE是△HCD的中位线，B为HC的中点．∵线段FC的中点是G，∴BG是△CFH的中位线，
故BG∥FH，而FH?平面FDE，BG 不在平面FDE 内，故直线BG∥平面FDE．
（2）由菱形ABCD中，∠A=60°，得△ABD为正三角形．∵线段AB的中点是E，∴DE⊥AE，EF⊥DE．
又平面FDE和平面EBCD垂直，∴折后EF⊥平面EBCD，平面FEC和平面EBCD垂直．
分析：（1）设DE和CB的延长线交与点H，可得 BE是△HCD的中位线，B为HC的中点，故可得BG是△CFH的中位线，BG∥FH，故直线BG∥平面FDE．
（2）利用△ABD为正三角形，可得DE⊥AE，EF⊥DE，再利用面面垂直的性质得折后EF⊥平面EBCD，从而得到平面FEC和平面EBCD垂直．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，判断BG是△CFH的中位线，是解题的难点和关键．