Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设h（x）=f（x）+g（x），
（Ⅰ）求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在y=h（x）在x∈（0，3]的图象上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≥成立，求实数a的最大值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m-1的图象于y=f（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ），其定义域为（0，+∞），
，
令，则x=a，
于是，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
当0＜x＜a时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
所以h（x）的单调增区间是（a，+∞），单调减区间是（0，a）；
（Ⅱ）因为，
所以在区间x∈（0，3]上存在一点P（x₀，y₀），
使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率，
等价于，
因为，
所以在x∈（0，3]的最大值为，
于是a≤，a的最大值为。
（Ⅲ）若的图象与的图象恰好有四个不同的交点，
即有四个不同的根，亦即方程有四个不同的根。
构造函数，
则F（x）的图象与x轴有四个不同的交点，，
令，
当x变化时F′（x）和F（x）的变化情况如下表：

所以当且即时，F（x）的图象与x轴有四个不同的交点，
解得，
所以存在使得两个函数的图像恰好有四个不同的交点。