Question

15．（1）解$\root{3}{x+4}$+$\root{3}{3x-7}$+4x-3＞0；
（2）解方程$\root{3}{x+2}$+$\root{3}{2x+5}$+3x+5=0；
（3）设m=$\frac{（1+\sqrt{2001}）^{2002}-（1-\sqrt{2001}）^{2002}}{\sqrt{2001}}$，判断m是无理数还是有理数？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设$\root{3}{x+4}$=m，$\root{3}{3x-7}$=n，则原不等式化为：m+n+（m³+n³）=（m+n）（m²+n²-mn+1）＞0，由此能求出原不等式的解集．
（2）设$\root{3}{x+2}$=m，$\root{3}{2x+5}$=n，则m+n+（m³+n³）-2=0，由此利用消元法能求出方程$\root{3}{x+2}$+$\root{3}{2x+5}$+3x+5=0的解．
（3）设$\sqrt{2001}$=a，则$\frac{（1+a）^{2002}-（1-a）^{2002}}{a}$，由此利用二项式定理能判断m是无理数还是有理数．

解答 解：（1）∵$\root{3}{x+4}$+$\root{3}{3x-7}$+4x-3＞0
设$\root{3}{x+4}$=m，$\root{3}{3x-7}$=n
则原不等式化为：m+n+（m³+n³）=（m+n）（m²+n²-mn+1）＞0，
又m²+n²-mn+1＞0
∴不等式化为：m+n＞0，
∴m³+n³=x+4+3x-7=4x-3＞0，
解得x＞$\frac{3}{4}$．
∴原不等式的解集为{x|x＞$\frac{3}{4}$}．
（2）∵$\root{3}{x+2}$+$\root{3}{2x+5}$+3x+5=0，
设$\root{3}{x+2}$=m，$\root{3}{2x+5}$=n，
∴m+n+（m³+n³）-2=0，∴（m+n）（m²+n²-mn+1）=2，
∵m²+n²-mn+1＞0，∴m+n＞0，
∵m³=x+2，n³=2x+5，∴2m³+1=n³，∴m≥0，n≥1，
∴m+$\sqrt{2{m}^{3}+1}$+m³+2m³+1-2=0，
∴m=0，n=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{2x+5=1}\end{array}\right.$，解得x=-2．
∴方程$\root{3}{x+2}$+$\root{3}{2x+5}$+3x+5=0的解为x=-2．
（3）设$\sqrt{2001}$=a，
则$\frac{（1+a）^{2002}-（1-a）^{2002}}{a}$
=$\frac{1}{a}{（C}_{n}^{0}{a}^{2002}-{C}_{n}^{0}{a}^{2002}+{2C}_{n}^{1}{a}^{2001}{+{C}_{n}^{n}-C}_{n}^{n}）$
=${n}_{1}{a}^{2000}+{n}_{2}{a}^{1998}+…+{n}_{i}{{a}^{0}}_{\;}$，（n₁，n₂，…，n_i都是常数），
∵$a=\sqrt{2001}$，∴a的偶数次方都是有理数，
∴m=$\frac{（1+\sqrt{2001}）^{2002}-（1-\sqrt{2001}）^{2002}}{\sqrt{2001}}$是有理数．

点评 本题考查不等式和方程的求解，考查有理数和无理数的判断，是中档题，解题时要注意换元法、消元法和二项式定理的合理运用．