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在△ABC中,已知y=2+cosCcos(A-B)-cos2C.
(1)若△ABC是正三角形,求y的值;
(2)若任意交换A,B,C的位置,y的值是否会发生变化?试证明你的结论;
(3)求y的最大值,并判断此时△ABC的形状.

解:(1)若△ABC是正三角形,则y=2+cos60°cos0°-cos260°=
(2)∵y=2+cosCcos(A-B)-cos2C=2-cos(A+B)cos(A-B)-cos2C
=
=
=3-cos2A-cos2B-cos2C=sin2A+sin2B+sin2C
∴任意交换A,B,C的位置,y的值不会发生变化.
(3)将y看作是关于cosC的二次函数.y=2+cosCcos(A-B)-cos2C=
所以,当,且cos2(A-B)取到最大值1时,也即时,y取得最大值
也可有如下简单解法:y=2+cosCcos(A-B)-cos2C≤2+|cosC|-|cosC|2=
分析:(1)若△ABC是正三角形,把A=B=C=60°代入函数中可求
(2)利用和差角及倍角公式对函数化简y=2+cosCcos(A-B)-cos2C=2-cos(A+B)cos(A-B)-cos2C=sin2A+sin2B+sin2C,从而可证
(3)将y看作是关于cosC的二次函数.y=2+cosCcos(A-B)-cos2C=,利用二次函数的性质可求
也可有如下简单解法:y=2+cosCcos(A-B)-cos2C≤2+|cosC|-|cosC|2=
点评:本题以三角函数的化简为考查重点,主要考查了二倍角公式,同角平方关系,和差角公式等公式的综合应用,而二次函数与三角函数综合应用求函数最值是本题的难点
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在△ABC中,已知内角A=
π
3
,边BC=2
3
.设内角B=x,△ABC的面积为y.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(Ⅱ)当角B为何值时,△ABC的面积最大.

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(Ⅰ)求证:0<B≤
π
3

(Ⅱ)求函数y=
1+sin2B
sinB+cosB
的值域.

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