Question

2．证明：$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 证法1：利用分析法通过平方转化证明即可．
证法2：利用分析法，通过移项，分子有理化，分析证明即可．

解答 证法1：因为$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＞0，2+\sqrt{7}＞0$，
所以欲证$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$，
只需证明${（\sqrt{3}+2\sqrt{2}）^2}＜{（2+\sqrt{7}）^2}$，即证明$11+4\sqrt{6}＜11+4\sqrt{7}$，
只需证明$4\sqrt{6}＜4\sqrt{7}$，即证明6＜7，
上式显然成立，所以$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$．
证法2：欲证$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$，
只需证明$2\sqrt{2}-\sqrt{7}＜2-\sqrt{3}$，
只需证明$\frac{1}{{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}}＜\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}$．
∵$2\sqrt{2}＞2，\sqrt{7}＞\sqrt{3}$，∴$2\sqrt{2}+\sqrt{7}＞2+\sqrt{3}＞0$．
∴$\frac{1}{{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}}＜\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}$成立，
所以$\sqrt{3}+2\sqrt{2}＜2+\sqrt{7}$．

点评 本题考查不等式的证明，分析法的应用，考查计算能力．