Question

已知a＞0，且a≠1，设p：y=a^x+1在定义域上是增函数，q：y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同两点，如p∨q为真，且p∧q为假，求a的取值．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

解答：解：若函数y=a^x+1在定义域上是增函数，
则a＞1，即p：a＞1．
若y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同两点，则△＜0，
即△=（2a-3）²-4＞0，即4a²-12a+5＞0，
解得a＞

5

2

或a＜

1

2

，
即q：a＞

5

2

或a＜

1

2

．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假．
若p真q假，则

a＞1 1 2 ≤a≤ 5 2

，即1＜a≤

5

2

．
若p假q真，则

0＜a≤1 a＜ 1 2 或a＞ 5 2

，即0＜a＜

1

2

．
综上：1＜a≤

5

2

或0＜a＜

1

2

．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，先求出命题p，q成立的等价条件，是解决此类问题的关键．