Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点
（1）求证：D₁B₁⊥AE；
（2）求D₁B₁与平面ABE所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出

D1B1

=(2，2，0)，

AE

=(-2，2，1)，利用向量的数量积公式求出它们的数量积为0，利用向量垂直的充要条件得到D₁B₁⊥AE；
（2）平面ABE的法向量，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，其绝对值即为D₁B₁与平面ABE所成角θ的正弦值．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（02，0），E（0，2，1），D₁（0，0，2），B₁（2，2，2）
所以

D1B1

=(2，2，0)，

AE

=(-2，2，1)
∵

D1B1

•

AE

=0
∴

D1B1

⊥

AE

∴D₁B₁⊥AE
求出（2）设平面ABE的法向量

n

=(a，b，1)
∵

AB

=(0，2，0)， 

AE

=(-2，2，1)
∴

2b=0 -2a+2b+1=0

解得a=

1

2

，b=0
∴

n

=(

1

2

，0，1)
∴sinθ= |

D1B1 • n

| D1B1 || n |

|=

10

10

点评：解决直线、平面间的位置关系、度量关系时，常通过建立空间直角坐标系，将立体几何的问题转化为向量的数量积问题来解决．