Question

已知函数f(x)=,x∈［0，2］.

（1）求f(x)的值域；

（2）设a≠0,函数g(x)=ax³-a²x,x∈［0，2］.若对任意x₁∈［0，2］，总存在x₂∈［0，2］，使f(x₁)-g(x₂)=0.求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)的值域是（2）实数a的取值范围是

解析:

  （1）方法一  对函数f(x)求导，f′(x)=·.

令f′(x)=0,得x=1或x=-1.

当x∈(0,1)时，f′(x)＞0,f(x)在(0,1）上单调递增；

当x∈(1,2)时，f′(x)＜0,f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,

∴当x∈［0，2］时，f(x)的值域是.

方法二  当x=0时，f(x)=0;

当x∈(0，2］时，f(x)＞0且

f(x)=·≤·=，

当且仅当x=,即x=1时，“=”成立.

∴当x∈［0，2］时，f(x)的值域是.

(2)设函数g(x)在［0，2］上的值域是A.

∵对任意x₁∈［0，2］，总存在x₀∈［0，2］，

使f(x₁)-g(x₀)=0,∴A.

对函数g(x)求导，g′(x)=ax²-a².

①当x∈(0,2),a＜0时，g′(x)＜0,

∴函数g(x)在（0，2）上单调递减.

∵g(0)=0,g(2)=a-2a²＜0,

∴当x∈［0，2］时，不满足A；

②当a＞0时，g′(x)=a(x-)(x+).

令g′(x)=0，得x=或x=-（舍去）.

（ⅰ)当x∈［0，2］，0＜＜2时，列表：

x	0	（0，）		（，2）	2
		-	0	+
g(x)	0		-

∵g(0)=0,g()＜0,

又∵A，∴g（2）=≥.

解得≤a≤1.

(ⅱ)当x∈(0,2),≥2时，g′(x)＜0,

∴函数在（0，2）上单调递减，

∵g（0）=0，g（2）=＜0,

∴当x∈［0，2］时，不满足A.

综上，实数a的取值范围是.