Question

8．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）若?x∈R，f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值符合，即可求函数f（x）的最值；
（2）若?x∈R，f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，则-3≥t²-$\frac{7}{2}$t，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）x＜2时，f（x）=-x+2+x-5=-3，
2≤x≤5时，f（x）=x-2+x-5=2x-7∈[-3，3]，
x＞5时，f（x）=x-2-x+5=3，
∴f（x）的最小值为-3，最大值为3；
（2）∵?x∈R，f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，
∴-3≥t²-$\frac{7}{2}$t，
∴（t-2）（2t-3）≤0，
∴$\frac{3}{2}$≤t≤2．

点评 本题考查绝对值不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求出函数的最值是关键．