Question

【题目】下列命题中，真命题的个数为①对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③非零向量 ，若 ，则向量 与向量 的夹角为锐角；④ ．（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：对于①，若a＞b≥0，则a|a|＞b|b|显然成立；

若a≥0＞b，a|a|＞b|b|a2＞﹣b2a2+b2＞0，成立；

若0＞a＞b，a|a|＞b|b||﹣a2＞﹣b2a2＜b2，成立；

故对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件，故①正确；

对于②，在△ABC中，若A＞B，则a＞b，又由正弦定理知，a＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB，故②正确；

对于③，非零向量 ，若 ，则向量 与向量 的夹角为锐角或0，故③错误；

对于④，∵ ﹣ = = ＞0，

∴ ＞ ；

同理可得， ；

∴ ，故④正确．

综上所述，真命题的个数为3个，

故选：C．

对于①，分a＞b≥0、a≥0＞b、0＞a＞b三类讨论，可判断①正确；

对于②，在△ABC中，利用正弦定理可判断②正确；对于③，非零向量 ，若 向量 与向量 的夹角为锐角或0，可判断③错误；对于④，利用作差法可判断 ﹣ = ＞0，即 ＞ ；同理可得， ，可判断④正确．