Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l₁：x=-2的距离为d₁，到点F（-1，0）的距离为d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l₁：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使

S

2 2

=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标，利用已知条件列出方程求解求动点P所在曲线C的方程；
（2）利用直线l与椭圆的故选列出方程，求出两个坐标的关系，通过点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
（3）利用弦长公式两点距离公式，求出S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），使

S

2 2

=λS1S3成立．求出λ的值即可．

解答：解　（1）设动点为P（x，y），依据题意，有

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，化简得

x2

2

+y2=1．              …（3分）
因此，动点P所在曲线C的方程是：

x2

2

+y2=1．              …（4分）
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，如图所示．                           （5分）
联立方程组

x2 2 +y2=1 x=my-1

，可化为（2+m²）y²-2my-1=0，
则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足

y1+y2= 2m 2+m2 y1y2=- 1 2+m2

．                         （7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得点M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
因

FM

=(-1，y1)，

FN

=(-1，y2)，则

FM

•

FN

=(-1，y1)•(-1，y2)=1+y1y2=

1+m2

2+m2

＞0．（9分）
于是，∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．                 （10分）
（3）依据（2）可算出x1+x2=m(y1+y2)-2=-

4

2+m2

，x1x2=(my1-1)(my2-1)=

2-2m2

2+m2

，
则  S1S3=

1

2

(x1+2)|y1|•

1

2

(x2+2)|y2|=

1

4

•

1

2+m2

[x1x2+2(x1+x2)+4]=

1

2

1+m2

(2+m2)2

，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•1)2=

1

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=2

1+m2

(2+m2)2

．              （15分）
所以，

S

2 2

=4S1S3，即存在实数λ=4使得结论成立．            （16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系与直线与圆的位置关系的判断，三角形的面积公式的应用，向量数量积的应用，考查计算能力，转化思想．